аксиоматическая теория вероятностей

Рассмотрим небольшой пример. При всей его простоте и незамысловатости он сыграл решающую роль в том, что классическая теория вероятностей уступила место современной аксиоматической теории вероятностей.

Имеется отрезок АВ. Выберем на этом отрезке точку С и будем бросать случайным образом на отрезок АВ. Другую материальную точку D. Какова вероятность, что мы попадем точкой D в точку С?

Если пользоваться представлениями классической теории вероятностей, то нужно рассуждать примерно так: весь отрезок состоит из бесчисленного количества точек, а благоприятствует исходу лишь одна точка, причем все исходы несовместны, единственно возможны и равновозможны, поэтому искомая вероятность может быть определена как отношение единицы к бесконечности, т. е. равна нулю. Но, с другой стороны, событие «попадание в точку С» является возможным.

Таким образом, возникало противоречие, которое подрывало имевшиеся представления ученых о вероятности. Выход был один: объявить, что классическая вероятность пригодна для конечного числа случаев, а для бесконечного числа случаев она не пригодна. Такой подход не мог устраивать практиков, ведь на практике чаще приходится сталкиваться именно с бесконечным числом исходов. Например, количество точек, в которые может попасть снаряд, выпущенный из орудия, бесконечно, температура вулканизации резины может принимать бесконечное число значений и т. д.

Так как в случае бесконечного числа исходов не было практических приемов исчисления вероятностей, то от специалистов требовалось по крайней мере разработать концепцию, которая могла теоретически разрешить создавшееся противоречие. В связи с усилившимся вниманием к вопросам обоснования наук многие ученые приходили к мысли о том, что теория вероятностей нуждается в пересмотре логических основ.

Наиболее четко эту мысль выразил немецкий математик Д. Гильберт в конце XIX столетия. В знаменитом докладе, который он сделал на II Международном математическом конгрессе 8 августа 1899 г., были сформулированы 23 проблемы Их решение математики XIX в завещали математикам нашего столетия. Среди этих проблем под номером 6 стояла задача аксиоматического обоснования теории вероятностей, которую Д. Гильберт сформулировал так: «С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуся роль: это в первую очередь Теория вероятностей и механика».

Ряд работ по аксиоматическому обоснованию теории вероятностей не дали удовлетворительного решения задачи, поставленной Гильбертом. Лед тронулся, пожалуй, только тогда, когда французский математик Э. Борель подметил глубокую аналогию между понятием вероятности и одним из наиболее важных понятий математики — мерой Лебега.

Борель явился инициатором рассмотрения вероятности как меры. Именно на этом пути Колмогоров дал наиболее удачное обоснование аксиоматической теории вероятностей. Вероятность, определенная как мера, обладает свойствами, отличающимися от свойств классической вероятности, и одно из них следующее: существуют события, которые возможны, но их вероятности равны нулю. В книге «Случай», которая была издана в Париже в 1914 г., Борель доказывает это.

Добавить комментарий